۳- آیا استدلال‌های زیر درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
پاسخ تشریحی:
* **الف) {هر مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است. چهارضلعی ABCD متوازی‌الاضلاع است.} $ \Rightarrow $ ABCD مستطیل است. (نادرست)**
* **توضیح:** این استدلال یک مغالطه‌ی منطقی به نام **«تایید تالی»** است. اینکه یک چهارضلعی، متوازی‌الاضلاع باشد، لزوماً به این معنا نیست که مستطیل هم باشد. برای مثال، لوزی یک متوازی‌الاضلاع است اما مستطیل نیست. مقدمات نمی‌توانند نتیجه را تضمین کنند.
* **ب) {در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند. همه‌ی ضلع‌های ABCD با هم برابر نیستند.} $ \Rightarrow $ ABCD مربع نیست. (درست)**
* **توضیح:** این یک استدلال منطقی معتبر به نام **«قیاس استثنایی»** یا **Modus Tollens** است. ساختار آن این است: اگر A آنگاه B. چون B نادرست است، پس A نیز نادرست است. اگر شرط لازم برای مربع بودن (برابری اضلاع) وجود نداشته باشد، آن شکل نمی‌تواند مربع باشد.
* **ج) {در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند. در چهارضلعی ABCD ضلع‌ها برابر نیستند.} $ \Rightarrow $ ABCD مربع نیست. (درست)**
* **توضیح:** این عبارت نیز دقیقاً مانند عبارت (ب)، یک استدلال **Modus Tollens** معتبر است و نتیجه‌گیری آن صحیح می‌باشد.
۴- ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است.
پاسخ تشریحی:
این قضیه به **«قضیه‌ی نیمساز زاویه»** معروف است و می‌توان آن را با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها اثبات کرد.
* **فرض (Hypothesis):**
۱. خط $OZ$ نیمساز زاویه‌ی $XOY$ است ($ \Rightarrow \angle AOP = \angle BOP $).
۲. نقطه‌ی $P$ یک نقطه‌ی دلخواه روی نیمساز $OZ$ است.
۳. $PA$ فاصله‌ی نقطه $P$ از ضلع $OX$ است ($ \Rightarrow PA \perp OX $).
۴. $PB$ فاصله‌ی نقطه $P$ از ضلع $OY$ است ($ \Rightarrow PB \perp OY $).
* **حکم (Conclusion):**
فاصله‌ی $P$ از دو ضلع برابر است ($ PA = PB $).
**اثبات:**
دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $OAP$ و $OBP$ را در نظر می‌گیریم و تلاش می‌کنیم هم‌نهشتی آنها را ثابت کنیم.
| مراحل اثبات | دلیل |
| :--- | :--- |
| ۱) $ \angle AOP = \angle BOP $ | **(زاویه)** طبق فرض، $OZ$ نیمساز است. |
| ۲) $ OP = OP $ | **(وتر)** وتر مشترک هر دو مثلث قائم‌الزاویه است. |
| ۳) $ \triangle OAP \cong \triangle OBP $ | به حالت هم‌نهشتی **وتر و یک زاویه‌ی تند (وز)** در مثلث‌های قائم‌الزاویه. |
| ۴) $ PA = PB $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۳)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. |
**تعمیم‌پذیری:**
چون نقطه‌ی $P$ به صورت **دلخواه** روی نیمساز انتخاب شد و در اثبات از هیچ ویژگی خاصی از مکان آن استفاده نشد، این نتیجه برای **تمام نقاط روی نیمساز** برقرار است.
